Линейным дифференциальным
уравнением (ЛДУ) называется уравнение вида
,
Решить ДУ
.
Пространство
имеет размерность
, его "базис" состоит из
линейно независимых элементов из
.
Теорема о необходимом условии линейной зависимости произвольной
системы функций
Поскольку понятия линейной зависимости и независимости
системы решений ОЛДУ
отрицают друг друга, то теперь можно сформулировать критерий линейной
независимости системы решений
,
ОЛДУ.
Найти ФСР ОЛДУ
. Записать общее решение. По НУ:
выделить частное решение.
Итак, для нахождения общего
решения НЛДУ нужно
Решить
СДУ имеет нормальную форму
записи, если удается записать ее уравнения в виде, разрешенном относительно
первых производных неизвестных функций
Геометрическая интерпритация
СДУ в нормальной форме и ее решений
Пространство переменных
СДУ в нормальной форме называется фазовым пространством
системы. Его структура может быть различной
Задача КОШИ для СДУ в
нормальной форме При рассмотрении прикладной задачи, требующей решения
СДУ, как правило, интересует единственное решение. Поэтому нужно уметь
выделять из бесконечного множества решений СДУ требуемое решение.
Является ли двухпараметрическое
семейство функций
,
общим решением СДУ
Сведение СДУ к одному ДУ
Свести СДУ
к одному ДУ. Решить ДУ. Записать СДУ и решение СДУ
в векторной и векторно-матричной формах.
Метод интегрируемых комбинаций
– СДУ второго
порядка сводится к ДУ
, откуда
и из первого уравнения
,
т.е.
– общее решение СДУ.
СДУ в нормальной форме
может быть представлена в виде
, симметричном относительно переменных. Так,
например, симметричная форма
записи СДУ
Достаточные условия существования единственного
решения задачи Коши для СДУ вида 
Свойства решений СОЛДУ
Рассмотрим вектор-функции
и
. При каждом
и
линейно зависимы, но ни одна из этих вектор-функций не
получается из другой умножением на число, т.е. на
эти функции линейно независимые.
Теорема о структуре
общего решения СОЛДУ
Некоторые свойства матриц
ФСР СОЛДУ
Общее решение СОЛДУ
запишется
, где
– произвольный вектор,
. При этом задача Коши
имеет единственное решение
, поскольку из соотношения
имеем
.
Пример Решить СДУ 
Метод Эйлера
Решить СОЛДУ
.
Решить СОЛДУ
.