Линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) называется уравнение вида
,
Пространство
имеет размерность
, его "базис" состоит из
Теорема о необходимом условии линейной зависимости произвольной системы функций
Поскольку понятия линейной зависимости и независимости системы решений ОЛДУ
отрицают друг друга, то теперь можно сформулировать критерий линейной независимости системы решений
,
ОЛДУ.
Найти ФСР ОЛДУ
. Записать общее решение. По НУ:
выделить частное решение.
Итак, для нахождения общего решения НЛДУ нужно
СДУ имеет нормальную форму записи, если удается записать ее уравнения в виде, разрешенном относительно первых производных неизвестных функций
Геометрическая интерпритация СДУ в нормальной форме и ее решений
Пространство переменных
СДУ в нормальной форме называется фазовым пространством системы. Его структура может быть различной
Задача КОШИ для СДУ в нормальной форме При рассмотрении прикладной задачи, требующей решения СДУ, как правило, интересует единственное решение. Поэтому нужно уметь выделять из бесконечного множества решений СДУ требуемое решение.
Является ли двухпараметрическое семейство функций
,
общим решением СДУ
Свести СДУ
к одному ДУ. Решить ДУ. Записать СДУ и решение СДУ в векторной и векторно-матричной формах.
Метод интегрируемых комбинаций
– СДУ второго порядка сводится к ДУ
, откуда
и из первого уравнения
, т.е.
– общее решение СДУ.
СДУ в нормальной форме
может быть представлена в виде
, симметричном относительно переменных. Так, например, симметричная форма записи СДУ
Достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для СДУ вида
Рассмотрим вектор-функции
и
. При каждом
и
линейно зависимы, но ни одна из этих вектор-функций не получается из другой умножением на число, т.е. на
эти функции линейно независимые.
Теорема о структуре общего решения СОЛДУ
Некоторые свойства матриц ФСР СОЛДУ
Общее решение СОЛДУ
запишется
, где
– произвольный вектор,
. При этом задача Коши
имеет единственное решение
, поскольку из соотношения
имеем
.
Пример Решить СДУ
Решить СОЛДУ
.
.
.| На главную
|