Математика примеры решения задач Линейные дифференциальные уравнения

Курсовые по энергетике
БН
Экология
Карта

Линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) называется уравнение вида,

Решить ДУ .

Пространство  имеет размерность , его "базис" состоит из  линейно независимых элементов из .

Теорема о необходимом условии линейной зависимости произвольной системы функций

Поскольку понятия линейной зависимости и независимости системы решений ОЛДУ   отрицают друг друга, то теперь можно сформулировать критерий линейной независимости системы решений ,  ОЛДУ.

Найти ФСР ОЛДУ . Записать общее решение. По НУ:   выделить частное решение.

Итак, для нахождения общего решения НЛДУ нужно

Решить 

СДУ имеет нормальную форму записи, если удается записать ее уравнения в виде, разрешенном относительно первых производных неизвестных функций

Геометрическая интерпритация СДУ в нормальной форме и ее решений

Пространство переменных  СДУ в нормальной форме называется фазовым пространством системы. Его структура может быть различной

 Задача КОШИ для СДУ в нормальной форме При рассмотрении прикладной задачи, требующей решения СДУ, как правило, интересует единственное решение. Поэтому нужно уметь выделять из бесконечного множества решений СДУ требуемое решение.

Является ли двухпараметрическое семейство функций ,  общим решением СДУ  

Сведение СДУ к одному ДУ

Свести СДУ  к одному ДУ. Решить ДУ. Записать СДУ и решение СДУ в векторной и векторно-матричной формах.

Метод интегрируемых комбинаций  – СДУ второго порядка сводится к ДУ , откуда   и из первого уравнения , т.е.  – общее решение СДУ.

СДУ в нормальной форме  может быть представлена в виде , симметричном относительно переменных. Так, например, симметричная форма записи СДУ

Достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для СДУ вида

Свойства решений СОЛДУ

Рассмотрим вектор-функции  и . При каждом   и  линейно зависимы, но ни одна из этих вектор-функций не получается из другой умножением на число, т.е. на  эти функции линейно независимые.

Теорема о структуре общего решения СОЛДУ

Некоторые свойства матриц ФСР СОЛДУ

Общее решение СОЛДУ  запишется , где  – произвольный вектор, . При этом задача Коши  имеет единственное решение , поскольку из соотношения  имеем .

Пример Решить СДУ 

Метод Эйлера

Решить СОЛДУ .

Решить СОЛДУ .

На главную