Элементы квантовой механики Молекулярные спектры Полупроводники Ядерная физика Кинематика примеры задач

Физика. Конспекты, примеры решения задач

Распределение Бозе - Эйнштейна

Перейдем к выводу закона распределения для идеального бозе-газа, т. е. системы практически не взаимодействующих бозонов. Вначале решим вспомогательную задачу. Возьмем N неразличимых частиц, помещенных в некоторый длинный ящик (пенал). Разделим этот ящик с помощью Z — 1 перегородок на Z ячеек (рис. 14.1) и найдем число способов, которыми частицы могут быть размещены по ячейкам, независимо от числа частиц в каждой ячейке.

 

 Рис. 14.1.

Произведем все возможные перестановки N + Z элементов системы, состоящей из частиц и ячеек. В данном случае переставляются не только частицы с частицами или ячейки с ячейками, но и ча­стицы с ячейками. Число таких перестановок равно (N + Z)!. Однако вследствие неразличимости частиц их перестановки не приводят к новому распределению. Таких перестановок N!. Перестановки ячеек также ничего не изменяют. Таких перестановок Z!. Следовательно, число способов, которыми N неразличимых частиц могут быть распределены по Z ячейкам, равно

(14.13)

Таким же будет число способов, которыми N бозонов могут быть распределены по Z состояниям. Разделим, как и при выводе распределения Ферми-Дирака, фазовое пространство на тонкие энергетические слои, в каждом из которых содержится Ni частиц и Zi состояний. Тогда согласно (14.13) статвес подсистемы из Ni частиц бозе-газа будет определяться выражением

Статвес всей системы равен произведению статвесов подсистем

Тогда энтропия бозе-газа будет определяться выражением

или

S = k ∑ [ln (Ni + Zi)! – ln Ni! – ln Zi!].

Используя формулу Стирлинга, получаем

S = k ∑ [(Ni + Zi)ln (Ni + Zi) –(Ni + Zi) - Ni ln Ni + Ni – Zi ln Zi + Zi].

Для нахождения максимума этого выражения применяем метод неопределенных множителей Лагранжа. Для этого по аналогии с (14.7) образуем функцию

F=S + αN – βE=k ∑ [(Ni + Zi)ln (Ni + Zi) –(Ni + Zi) - Ni ln Ni + Ni – Zi ln Zi + Zi] + α∑Ni – β∑εiNi.

Здесь, как и в (14.7) α и β множители Лагранжа. Приравняем частные производные функции

F по переменным Ni нулю:

Отсюда следует, что

В полученном выражении, как и в случае фермионов, β =1/Т, α = μ/Т. Разрешив получившееся в результате равенство относительно <ni>, получим для среднего числа бозонов в состоянии с энергией εi формулу

(14.14)

которую называют распределением Бозе-Эйн­штейна. Эта формула отличается от (14.12) только знаком перед единицей в знаменателе.

Химический потенциал μ бозе-газа не может быть положительным, потому что при μ > 0 некоторые из чисел заполнения оказались бы отрицательными, что невозможно.

При малых (по сравнению с единицей) числах заполнения экспонента в знаменателе формул (14.12) и (14.14) много больше единицы. Поэтому единицей в знаменателе можно пренебречь, в результате чего оба распределения приобретают вид

(14.15)

где А = ехр(μ/kТ). Таким образом, при малых числах заполнения распределения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна переходят в распределение Больцмана.

При выводе распределений (14.12) и (14.14) мы предполагали полное число частиц N наперед заданным и неизменным. В случае, если число частиц непостоянно, условие ∑Ni=N не имеет места. Поэтому в формуле аналогичной (14.7), отсутствует слагаемое α∑Ni. Это означает, что α = 0, соответственно и μ = 0. Таким образом, химический потенциал бозе-газа с переменным числом частиц равен нулю, вследствие чего распределение (14.14) имеет вид

(14.16)

Идеи и выводы квантовой статистики необходимы ниже для понимания свойств твердых тел.

Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Галилея и Лоренца. Относительность пространственных и временных промежутков. Взаимосвязь массы и энергии.

Электрическое поле и его характеристики. Принцип суперпозиции в линейной электродинамике.

Типы диэлектриков. Свободные и связанные заряды. Электризация тел. Антистатическая обработка материалов.

Поток вектора напряженности и вектора индукции электрического поля. Теорема Остроградского - Гаусса.

Сегнетоэлектрики, пьезоэлектрики и их применение.

Электростатические поля в технологии строительных материалов /изготовление линолеума, ворсистых покрытий/. Электростатические свойства текстильных материалов и обуви.

Потенциальный характер электрического поля. Связь между вектором напряженности электрического поля и потенциалом.

Проводники в электрическом поле. Электрическое поле внутри проводника и у его поверхности. Защита от электростатических полей.

Конденсаторы. Соединение конденсаторов. Энергия электростатического поля. Объемная плотность энергии.

Постоянный электрический ток. Классическая электронная теория электропроводности металлов. Закон Ома в дифференциальной форме.

Разность потенциалов, электродвижущая сила, напряжение. Работа и мощность тока. Электронагревательные приборы.

Кондуктометрия на примере измерения влажности воздуха, кожевенных и текстильных материалов.

Термоэлектричество и его использование в современной технике и технологии.

Характеристики магнитного поля. Закон Био-Савара-Лапласа. Магнитное поле прямолинейного и кругового тока.

Магнитный момент витка с током. Контур с током в магнитном поле. Магнитный поток.

Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле. Принципы работы электродвигателей. Электродвигатели в бытовых приборах.

Закон электромагнитной индукции. Принципы работы генераторов электрического тока.

Явления самоиндукции и взаимной индукции. Индуктивность


Анализ электрических цепей