Элементы квантовой механики Молекулярные спектры Полупроводники Ядерная физика Кинематика примеры задач

Физика. Конспекты, примеры решения задач

Функции Блоха и зоны Бриллюэна

Зонная структура энергетических уровней получается непосредственно из решения уравнения Шрёдингера для электрона, движущегося в периодическом силовом поле. Это поле создается решеткой кристалла. Уравнение Шрёдингера, учитывающее поле решетки, имеет вид

где U — функция, обладающая свойствами:

(а, 6, с — периоды решетки вдоль осей x, y, z). Принцип суперпозиции. Групповая скорость Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн, линейна, т. е. ее свойства не изменяются под действием возмущений, создаваемых волной, то к ним применим принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.

Блох доказал, что решение уравнения Шрёдингера с периодическим потенциалом имеет вид

(14.54)

где uk(r) — функция, имеющая периодичность потенциала, т. е. периодичность решетки. Решения (14.54) называются функциями Блоха. Они отличаются от (14.39) наличием периодического множителя uk(r).

График зависимости энергии частицы ε от модуля волнового вектора k, т. е. график функции ε(k)называется дисперсионной кривой. В приближении свободных электронов дисперсионная кривая имеет вид, показанный на рис. 14.12 (см. формулу (14.40)). Значения энергии образуют квазинепрерывную последовательность. Следовательно, график ε(k) состоит из дискретных точек. Однако эти точки расположены так густо, что зрительно сливаются в сплошную кривую.

Рис. 14.12.

В случае периодического поля дисперсионная кривая имеет вид, показанный на рис. 14.13. Из рисунка видно, что изображенные сплошными линиями зоны квазинепрерывно изменяющейся энергии (разрешенные зоны) чередуются с запрещенными зонами. Каждая разрешенная зона состоит из близкорасположенных дискретных уровней, число которых равно числу атомов в образце кристалла.

Область k-пространства, внутри которой энергия электрона в кристалле изменяется квазинепрерывно, называется зоной Бриллюэна. На границах зон энергия терпит разрыв. Рисунок 14.13 изображает зоны Бриллюэна в случае одномерного кристалла. Для трехмерных кристаллов границами зон Бриллюэна являются замкнутые многогранные поверхности, заключенные одна внутри другой. В случае свободных электронов поверхность Ферми имеет форму сферы. В общем случае форма поверхности Ферми для электронов проводимости металла зависит от свойств кристаллической решетки и имеет сложный, подчас причудливый вид.

Рис. 14.13.

Поверхность Ферми является важной характеристикой металла. Форма этой поверхности определяет характер движения электронов с энергией, близкой к εF. Характер же движения электронов, в свою очередь, определяет физику различных явлений, наблюдаемых при воздействии на металл магнитного поля.

Итак, спектр возможных значений энергии валентных электронов в кристалле распадается на ряд разрешенных и запрещенных зон. Ширина зон не зависит от размеров кристалла. Таким образом, чем больше атомов содержит кристалл, тем теснее располагаются уровни в зоне. Ширина разрешенных зон имеет величину порядка нескольких электронвольт. Следовательно, если кристалл содержит 1023 атомов, расстояние между соседними уровнями в зоне составляет ~ 10-23 эВ.

Каждый энергетический уровень отвечает определен­ному значению k. Поскольку квантовое число тs может принимать два значения, на любом разрешенном уровне могут находиться два электрона, обладающие противопо­ложными спинами.

Металлы, полупроводники, диэлектрики

Существование энергетических зон позволяет объяснить с единой точки зрения существование металлов, полупроводников и диэлектриков.

Разрешенную зону, возникшую из того уровня, на котором находятся валентные электроны в основном состо­янии атома, мы будем называть валентной зоной. При абсолютном нуле валентные электроны заполняют по­парно нижние уровни валентной зоны. Более высокие разрешенные зоны будут от электронов свободны. В зависимости от степени заполнения валентной зоны электро­нами и ширины запрещенной зоны возможны три случая, изображенные на рис. 14.14. В случае рис. 14.14 а электроны заполняют валентную зону не полностью. Поэтому достаточно сообщить электронам, находящимся на

Рис. 14.14

верхних уровнях, совсем небольшую энергию (10-23 – 10-22 эВ), для того чтобы перевести их на более высокие уровни. Энергия теплового движения (kТ) составляет при 1 К величину порядка 10-4 эВ. Следовательно, при температурах, отличных от абсолютного нуля, часть

электронов перево­дится на более высокие уровни. Дополнительная энергия, названная действием на электрон электрического поля, также оказывается достаточной для перевода электрона на более высокие уровни. Поэтому электроны могут ускоряться

электрическим полем и приобретать дополнительную скорость в направлении, противоположном направлению поля. Таким образом, кристалл с подобной схемой энергетических уровней будет представлять собою металл.

 Частичное заполнение валентной зоны (в случае ме­талла ее называют также зоной проводимости) наблюдается в тех случаях, когда на последнем занятом уровне в атоме находится только один электрон или когда имеет место перекрывание зон (см. рис. 14.11 б и рис. 14.10 расстояние r2). В первом случае N электронов проводимости заполняют попарно только половину уровней валентной зоны. Во втором случае число уровней в зоне проводимости будет больше N.

В случаях б и в (см. рис. 14.14) уровни валентной зоны полностью заняты электронами — зона заполнена. Для того чтобы увеличить энергию электрона, необходимо сообщить ему количество энергии, не меньшее, чем ширина запрещенной зоны ∆ε. Электрическое поле (во всяком случае, такой напряженности, при которой не происходит электрический пробой кристалла) сообщить электрону та­кую энергию не в состоянии. При этих условиях электрические свойства кристалла определяются шириной запрещенной зоны ∆ε. Если эта ширина невелика (порядка несколь­ких десятых электронвольт), энергия теплового движения оказывается достаточной для того, чтобы перевести часть электронов в верхнюю свободную зону. Эти электроны будут находиться в условиях, аналогичных тем, в которых находятся валентные электроны в металле. Свободная зона окажется для них зоной проводимости. Одновременно станет возможным переход электронов валентной зоны на ее освободившиеся верхние уровни. Такое вещество называется собственным полупроводником.

Если ширина запрещенной зоны ∆ε велика (порядка нескольких электронвольт), тепловое движение не сможет забросить в свободную зону заметное число электронов. В этом случае кристалл оказывается диэлектриком.

Элементы Квантовой Механики.

Введение. История создания квантовой механики.

В ее основу легли 2 факта: теория Бора и дуализм света.

1924-1926

Шрединг, Гейзинберг, Борн

Дуализм света (одновременно электро-магнитная волна и поток фотонов):

{ε=hν = hC/λ=ħω -энергия фотона

P = hν/C = h/λ = ħk}-импульс фотона

k=2Pi/λ

дуализм света – объективный закон природы.

Глава 4. Волновые свойства микрочастиц.

§1 Гипотеза Луи де Бройля. 1923г.

Утвердилось учение о дуализме. ЛдБ предположил что дуализм присущ всей материи – электронам, протонам, нейтронам...

есть частица, перемещающаяся со скоростью V значит она обладает импульсом P и ее движение характеризует волна. О природе волн де Бройля было много споров. Это математический аппарат для описания движения частиц.

λ=h/p  ω= ε/ħ

если частица свободная, нерелятивистская, T<<m0C2

1)cвободная  U(x)=0 Tкин=p2/2m

λ=h/sqr(2mTкин) p=sqr(2mTкин)

2)cвязанная (в силовом поле)

U(x)!=0

E=Tкин+U(x)

Tкин=E-U(x)

λ=h/sqr(2m(E-U(x)))

Если частица релетявистская, T~m0C2 - энергия покоя

λ=h/p

E2=E02+p2C2

p2C2 = E2 – E02

E= mC2 E0 = m0C2

p2 = (E - E0)(E + E0)/C2=T(2m0C2+T)/ C2

λ=hC/sqr(T(T+2m0C2))

чуваки эту ляляку встретили негативно, только эксперименты убедили их:

определить λ шарика m=1г движущегося со скоростью V=1см/с

λ = h/mV = (6,62 10-34 дж с)/(10 -3 10 -2 м/с)=6,62 10 -29 м

длина волны настолько мало что отсутствуют методы определения такой длины волны

определим λ для электрона в атоме водорода, V=106 м/с

λ = h/mV = (6,62 10-34 дж с)/(9,1 10 -31 10 6 м/с) ~ 0,7 нм – частота рентгеновского излучения

для рентгеновских лучей наблюдается дифрагция на монокристаллах.


Анализ электрических цепей