Курсовые по энергетике
БН
Экология
Карта

Физика. Конспекты, примеры решения задач

Простейшие задачи квантовой механики

Содержание

Свободное движение квантовой частицы. Фазовая ячейка.

Движение квантовой частицы в однородном электрическом поле.

Квантовый гармонический осциллятор.

Частица в потенциальной яме.

Туннельный эффект.

Два типа туннельных эффектов.

Примеры туннельных переходов второго типа.

Свободное движение квантовой частицы. Фазовая ячейка

Получение, свойства и применение некоторых полупроводниковых материалов Германий. Природное сырье в результате химической переработки переводится в четыреххлористый германий - GeCl4, который дальнейшей переработкой переводится в двуокись - GeO2. Двуокись германия восстанавливается водородом до порошкового германия, который, после травления, сплавляется в слитки. Слитки помещаются в графитовые тигли и подвергаются очистке методом зонной плавки, а затем из расплава очищенного германия вытягивается монокристалл.

Рассмотрим движение квантовой частицы в отсутствие силового поля, т.е. при . Решение уравнения Шредингера для стационарных состояний (для одномерного движения)

  (1)

можно записать в виде

.  (2)

Подстановка (2) в (1) приводит к следующему выражению для энергии частицы: . Значит, энергетический спектр свободной квантовой частицы непрерывен и ограничен снизу: .

  Вычисляем плотность вероятности нахождения частицы в данной точке:

 .

Последнее равенство означает, что свободная частица с равной вероятностью может находиться в любой точке пространства, т.е. она равномерно размазана по всему пространству. Поэтому интеграл нормировки волновой функции оказывается расходящимся:

.

Возникшее затруднение устраняется, если считать, что движение частицы происходит лишь в области , где  - очень большое, но конечное число. На волновую функцию накладываем условие периодичности (циклическое граничное условие) , означающее, что точки на оси , отстоящие друг от друга на , эквивалентны. Подставляя в условие периодичности выражение (2) для волновой функции, получаем уравнение

,

решение которого имеет вид:

.  (3)

Согласно (3), импульс и энергия свободной частицы принимают лишь избранные значения, т.е. квантуются: . Так как ширина области, в которой происходит движение частицы (основная область), очень велика, то получается квазинепрерывный спектр энергии – расстояние между уровнями энергии очень мало. Из условия нормировки  вычисляем постоянную нормировки волновой функции: .

 Число квантовых состояний, импульсы которых лежат в интервале , а координата  лежит в области , определим с помощью формулы (3):

 .

Аналогично определяем число квантовых состояний  и , соответствующих движению частицы вдоль координатных осей  и . Полное число квантовых состояний, приходящихся на интервал  в пространстве импульсов и на объем , составляет (в случае трехмерного движения):

, (4)

где .

 Правая часть равенства (4) представляет собой отношение объема области фазового пространства, в которой происходит движение частицы, к объему  некоторой области фазового пространства, которая называется фазовой ячейкой. Последнюю естественно интерпретировать как такую область, которая приходится на одно квантовое состояние свободной частицы (при трехмерном движении). Напомним, что в классической механике одному состоянию частицы соответствует точка  в фазовом пространстве. Как видим, в квантовой механике на одно квантовое состояние приходится целая область фазового пространства объемом . Очевидно, эта особенность квантового состояния обусловлена тем, что квантовая частица подчиняется корпускулярно-волновому дуализму.

Пример 4.2. Определить период колебаний стержня длиной 60 см около оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец.

Дано: L=60см=0,6м.

Найти:  T.

Решение.

Стержень, имеющий возможность совершать вращение около горизонтальной оси O, не проходящей через центр масс (центр тяжести) C, есть физический маятник (рис. 3). Для физического маятника период колебаний около неподвижной оси:

, (4.2.1)

где J – момент инерции относительно этой оси, m – масса маятника, a – расстояние от оси колебаний не проходящей через центр масс до центра тяжести (расстояние ОС). Момент инерции относительно оси О, проходящей через конец стержня, можно определить по теореме Штейнера:

,  (4.2.2)

где Jc – момент инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр тяжести, т.е. относительно оси С. Известно, что для однородного стержня, длиной l:

 (4.2.3)

Подставим (4.2.3) в (4.2.2) учитывая, что a=l/2:

. (4.2.4)

Подставив (4.2.4) в (4.2.1), получим:

.  (4.2.5)

Убедимся, что правило размерностей выполняется:

.

Подставим в (4.2.5) числовые данные:

.

Ответ: период колебаний стержня Т=1,27 с.


Анализ электрических цепей