Курсовые по энергетике
БН
Экология
Карта

Физика. Конспекты, примеры решения задач

Оператор квадрата момента импульса

 Чтобы найти собственные значения операторов момента, перейдём к сферической системе координат:

  (5)

- оператор Лапласа для сферы (угловая часть оператора Лапласа),

.

Монета лежит на горизонтальной подставке, движущейся по вертикальной оси по закону: y = A×sinwt, где w = 10 с-1. При каких амплитудах колебаний подставки движение монеты будет гармоническим? На какой максимальной высоте H относительно среднего положения подставки окажется монета в течение первого периода колебаний, если А = 0,2 м. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.

Решение По второму закону динамики для монеты N - mg = ma, где N – сила, действующая на монету со стороны подставки вверх (по оси Y), а – ускорение монеты. Движение монеты будет гармоническим до тех пор, пока она не начнет «отрываться» от подставки. При гармоническом движении монеты ее ускорение a =  = –Aw2sinwt. Моменту начала отрыва монеты от подставки при постепенном увеличении амплитуды соответствует условие N = 0. При этом «пограничном» условии g = Aw2sinwt. Таким образом, при А = g/w2 движение монеты еще происходит по гармоническому закону (монета «теряет контакт» с подставкой пока только в верхних точках траектории); при А > g/w2 движение монеты уже не будет гармоническим. В частности, при заданных условиях задачи движение монеты будет гармоническим при А £ 0,1 м. При бόльших амплитудах монета начнет «подскакивать» над подставкой.

Заметим, что операторы (5) действуют только на угловые переменные. Это упрощает решение задачи на собственные значения

. (6)

Можно считать, что . Подставляя (5) в (6) и обозначая , найдём:

.  (7)

Это уравнение для шаровых функций. Решение этого уравнения, отвечающее стандартным условиям, существует лишь при

,  (8)

где  - целое положительное число .

Приведем определение шаровых функций:

,  (9)

- полином Лежандра, . Постоянная в (9) выбирается так, чтобы выполнялось условие ортонормировки шаровых функций

.

Из (6)-(8) получаем:

.

Собственному значению  с фиксированным  отвечают  собственных функций, отличающихся значениями . Шаровые функции (9) являются собственными функциями оператора  (5):

. (10)

Оператор

 Рассмотрим задачу на собственные значения оператора :

.  (11)

Решение уравнения (11) дается формулой

.  (12)

Так как углы  и  физически эквивалентны, то должно выполняться равенство , представляющее собой условие однозначности -функции. Подставляя в это условие (12), найдём:

  .

Итак,

. (13)

Как видим, - компонента вектора момента импульса квантуется согласно (13).

 Очевидно, что функция  (9) также является собственной функцией оператора   и отвечает собственному значению  Очевидно, что величина , как проекция вектора , не может быть больше, чем : ; обозначим , тогда  принимает значения , всего  значений.

 Итак, модуль момента импульса может принимать определенное значение, равное . Для фиксированного  проекция момента на ось  может принимать  значений . Две другие проекции совершенно не определены. Это значит, что для квантовой частицы вектор  не имеет определённого направления в пространстве. Величина  называется орбитальным квантовым числом (орбитальным моментом), а - магнитным квантовым числом (магнитным моментом).

Чтобы объяснить название (магнитный момент) рассмотрим виток с током . Когда частица движется по орбите, возникает круговой ток ,  - заряд частицы,  - частота вращения. Такой ток обладает магнитным моментом  ( - радиус орбиты). Орбитальный момент:  ( - масса электрона,  - скорость частицы). Тогда   . Знак «-» указывает на то, что   и  имеют противоположные направления. Так как , то ;  - гиромагнитное отношение,  - магнетон Бора. Как видим, квантовое число  определяет величину магнитного момента.

Примеры решения задач

Пример 1. Маховик в виде колеса массой m = 30 кг и диаметром 60 см вращается с угловой скоростью w, изменяющейся по закону w = Аt10 , где А = 2 рад/с11. Найти закон движения j(t), угловое ускорение e (t), момент сил М(t) и момент количества движения L(t). Вычислить эти величины через 2 с после начала движения. Считать начальный угол j(t =0) = j0 = 0 .

Решение.

Перевод в СИ

m = 30 кг 30 кг

D = 60 см 0,6 м

w = Аt10 = 2× t10рад/с11 2× t10рад/с

t = 2 c 2 c

Определить: j(t), e (t), М(t), L(t).

Если известен закон движения, то угловая скорость определяется как первая производная от j(t) по времени:

dj

w(t) = ¾¾ (1)

dt

Закон движения j(t) находится решением обратной задачи, т.е. интегрированием угловой скорости по времени:

 t 

 j(t) = ò w(t) d t  + j

 0 

При w(t) = 2 ×t10 ,с учетом j0 = 0:

 t 2×t11

 j(t) = ò 2×t10 d t  + j0 = ¾¾ (3)

 0 11 

 2×211

В момент времени t = 2 с маховик повернулся на угол j(t =2 с) = ¾¾

  11 

= 372,3 » 372 рад.

Угловое ускорение определяется как первая производная от угловой скорости по времени:

  dw d

 e = ¾¾¾¾ ( 2 ×t10) = 10 × 2× t9 (4)

 dt dt

В момент времени t = 2 c угловое ускорение равно:

 e ( t = 2c) = 10 × 2 × 29 = 10240 » 1,02× 104 рад/с2 

Момент сил можно определить из основного закона динамики для вращательного движения твердого тела:

 М = I ×  e (5)

где I - момент инерции тела.

В нашем случае момент инерции колеса равен:

 I = mR2 = mD2/4 (6)

 

Подставляя выражения (4) и (6) в (5) получим:

 mD2 20 t9

  М = ¾¾ ×¾¾

  4 

При t = 2 c

 30 × ( 0,6)2 20×29

 M = ¾¾ ¾¾ ¾¾ = 27648 » 2,77 × 104 Н×м

 4

Момент количества движения равен:

 L = I w  (7)

Подставляя выражения для w  и (6) в (7) получим:

 mD2 2 t10

 L = ¾¾ ¾¾

 4

При t = 2 c

 30× (0,6)2 × 2× 210

 L = ¾¾ ¾¾ ¾¾ = 5529,6 = 5,53× 103 кг м2/с

 4

Проверим размерность полученных выражений.

 рад с11

 [j] = [А] [t11] = ¾¾¾¾ = рад;

 с11 

 рад с9

 [e] = [А] [t9] = ¾¾¾¾  = рад/с2

 с11

 mD2 × A t9 кг м2 с9 кг м м 

 [M] = [¾¾¾¾¾¾¾¾ ] = ¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = Н м

  4 11 с11 с2 

 кг м2 c10

 [L] = [ m D2 A t10 ] = ¾¾¾¾ = кг м2 с-1

 c11

Ответ: j(t=2) =372рад, e(t=2с)= 1,02× 104 рад/с2, М(t) =2,77 × 104 Н м

L(t) = 5,53× 103 кг м2/с


Анализ электрических цепей