Курсовые по энергетике
БН
Экология
Карта

Физика. Конспекты, примеры решения задач

Мультиплеты и спин электрона


 Характерной особенностью квантовой системы является квантование энергии, состоящее в том, что энергия частицы может принимать лишь отдельные, дискретные значения. О таких значениях энергии говорят как об энергетических уровнях. Процессы испускания и поглощения света веществом происходят в результате квантовых переходов электронов в атомах с одного уровня энергии на другой. Рассмотрим квантовую систему с двумя уровнями энергии -  и . При переходе электрона  излучается фотон с частотой . Обратный переход возможен с поглощением фотона. В согласии с такими представлениями атомные спектры состоят из отдельных линий, т.е. зависимость интенсивности  электромагнитного излучения от частоты  должна иметь следующий вид: Решение задач по физике примеры Билеты к экзамену по физике

Исследование спектров сложных атомов показало, однако, что каждая линия расщепляется на

несколько компонент, расположенных очень близко друг от друга. Такие линии называются мультиплетами (см. рис.).

Дублет, Триплет, Квартет, Синглет.

Возникновение мультиплетов объясняется тем, что электрон обладает собственным механическим моментом, который называется спином. Предположение о наличии собственного момента электрона впервые сделали голландские физики Уленбек и Гаудсмит (1925).

Спиновый момент обозначим через . Согласно опытным данным, проекция собственного момента электрона на любое направление может принимать лишь два значения .

Оператор спина электрона. Уравнение Паули

Оператор спина обозначим через  и потребуем, чтобы для его компонент выполнялись такие же правила перестановки, как и для оператора :

  и др. (14)

Принимаем, в соответствии с данными эксперимента, что проекция спина на любое направление может принимать лишь два значения: . Отсюда следует, что операторы   должны быть двухрядными матрицами, поскольку двухрядные матрицы имеют только два собственных значения. Обозначим:

,  (15)

где  - спиновые матрицы, собственные значения которых равны . Отсюда видно, что

.  (16)

Можно показать, что из (14)-(16) следует, что спиновые матрицы антикоммутируют:

  и т.д.,

причём

(остальные равенства получаются циклической перестановкой индексов). Приведем явное представление:

  .

Квадрат оператора спина дается формулой:

.

Можно записать так:

  - спиновое квантовое число,

  - спиновое магнитное квантовое число.

Отношение спинового магнитного момента  к спиновому механическому равно - (в гауссовой системе единиц), т.е.

«» - заряд электрона (отрицательный)

Электрон в магнитном поле  приобретает дополнительную потенциальную энергию:

.

Оператор этой энергии . Поэтому оператор Гамильтона для электрона содержит дополнительный член . Теперь уравнение Шредингера принимает вид:

(17)

» - заряд электрона). Это уравнение Паули. Решением этого уравнения является столбец (спинор): .

  Отметим, что плотность тока вероятности, учитывающая спин электрона, содержит дополнительный член (спиновый ток):

.

Пример 2. Соковыжималка раскручивается до 7200 об\мин. Определить силу, действующую на кусочек яблока массой 5г, при диаметре камеры D =24 см. Вычислить линейную скорость кусочка яблока. Оценить мощность соковыжималки, если максимальные обороты достигаются за 8с.Барабан представляет собой полуцилиндр, масса дна и кольца примерно одинакова и равна 100 г. Яблочная масса при загрузке составляет 300 г.

Решение. СИ

n = 7200 об\мин = 120 с-1

R = D/2 = 12 см = 0,12 м

m = 5 г = 5 ·10-3 кг

m1 = 100 г = 0,1 кг

m2 = 300 г = 0,3 кг

t = 4с

Определить: силу F, скорость V, мощность Р

Кусок яблока движется по круговой траектории с центростремительным ускорением

а = V2\ R . (1)

Сила, действующую на кусочек яблока со стороны барабана, равна

F= mV2\ R .

С силой F кусок яблока прижимается к барабану. Поэтому искомая сила равна

F= mV2\ R = F= mw2 R , (2)

где V = w R –линейная скорость кусочка яблока;

 w = 2π n - угловая скорость

Проверим размерность. подставляя:

  кг· с-2 · м

[F] = [¾¾¾¾¾¾¾¾ ] = кг· м·с-2 = Н

Проведем вычисления:

Сила F = mw2 R= 5 ·10-3 ·(2 ·3,14)2 ·(120)21,2·10-1=5·10-3 ·4·9,86·1,44·104 1,2·10-1≈341 Н

Линейная скорость кусочка яблока:

V = w R = 2π n R =2·3,14 ·120 · 0,12 =90.432 ≈ 90.4 м\с

Мощность соковыжималки  можно оценить, вычислив кинетическую энергию вращающегося барабана вместе с содержимым и разделив её на время раскручивания.

Кинетическая энергия вращения равна:

Екин = (I + I1) w2 \2

где I = m2 R 2 – момент инерции яблочной массы;

I1 = m1 R 2 \ 2 + m1 R 2 момент инерции полуцилиндра, состоящего из диска и кольца.

I = 0,3· (0,12)2 = 0.00432 =4.32·10-3 кг·м2

I1 =(0.05 +0.1) · (0,12)2 = 2.16·10-3 кг·м2 

Екин= (4.32 + 2.16) ·10-3 ·(2π 120)2 \ 2 = 6.48 ·10-3 · 2· (3,14)2 1.44· 104 ≈ 1.84·103 Дж.

Мощность соковыжималки:

Р = Екин \ t =1.84·103 / 4 ≈ 460 Вт

Ответ: сила , прижимающая кусочек яблока к барабану F = 341 Н,

линейная скорость кусочка яблока:V ≈ 90.4 м\с ; мощность соковыжималки Р ≈ 460 Вт.


Анализ электрических цепей