Курсовые по энергетике
БН
Экология
Карта

Физика. Конспекты, примеры решения задач

Движение микрочастицы в кулоновском поле

Содержание

Движение в поле центральной силы.

Движение в кулоновском поле.

Сферические волны.

Движение в поле центральной силы

 Рассмотрим микрочастицу в центрально-симметричном поле. Такое поле характеризуется тем, что в нём имеется характерная точка, называемая силовым центром, которая обладает следующим свойством: если силовой центр поместить в начале координат, то закон действия силы запишется в виде: Задача Частица совершает гармонические колебания по оси X. В некоторый момент времени смещение частицы от положения равновесия x1 = 0,3 м, ее скорость V1= – 4 м/c и ускорение A1= – 30 м/с2. Определите амплитуду и частоту колебаний частицы.

.

Вычислим элементарную работу , совершаемую силой  над частицей при ее перемещении :

Как видим, потенциальная энергия частицы  в центрально-симметричном поле зависит только от  (от расстояния частицы до силового центра): .

 Значит, оператор Гамильтона рассматриваемой системы дается формулой

.  (1)

Оператор Лапласа в сферических координатах представим в виде

  , (2)

где  - оператор Лапласа для сферы:

.  (3)

Очевидно, что оператор кинетической энергии можно записать следующим образом:

, (4)

где первое слагаемое () даёт кинетическую энергию, соответствующую движению вдоль радиуса-вектора, а второе слагаемое - кинетическую энергию трансверсального движения.

 Учитывая, что шаровые функции  являются решением задачи на собственные значения оператора ,

,

собственные функции оператора Гамильтона  (1) ищем в виде:

.  (5)

Радиальная функция  подчиняется уравнению:

.  (6)

Энергетический спектр определяется уравнением (6), если волновую функцию подчинить стандартным условиям. Очевидно, что энергия микрочастицы зависит от орбитального момента , но не зависит от магнитного квантового числа   и, кроме того, зависит от вида потенциальной энергии. Имеет место, таким образом, -кратное вырождение уровней энергии: : все состояния с   имеют одну и ту же энергию. Указанное вырождение объясняется тем, что мы рассматриваем поле, обладающее центральной симметрией, в котором все направления в пространстве равноправны, и поэтому энергия не может зависеть от ориентации в пространстве момента импульса.

 Решение уравнения (6) запишем так:

.  (7)

Легко проверить, что выполняется соотношение (здесь и далее массу электрона  мы обозначаем через , чтобы отличать ее от магнитного квантового числа )

.

И поэтому подстановка функции  (7) в уравнение (6) приводит к следующему уравнению для :

.  (8)

Отметим, что уравнение (8) по вешнему виду совпадает с уравнением Шредингера для одномерного движения частицы в поле с потенциальной энергией

 ,

причем роль координаты играет модуль радиуса-вектора .

Рассмотрим асимптотику решений уравнения (8) при , считая, что . Сохраняя основные по величине члены, найдём

.

Обозначая

  при  и  при , (9)

общее решение уравнения представим в форме:

  (10)

 При  решение конечно для любого , т.е. спектр энергии непрерывен. Соответствующие ему состояния отвечают апериодическим орбитам в классической механике, когда частица движется из бесконечности к силовому центру и опять уходит на бесконечность. Такие состояния называются состояниями рассеяния. Так как состояние стационарно, то поток приходящих частиц равен потоку уходящих, т.е . Если положить:

,

то, очевидно,

. (11)

Последняя формула описывает стоячую сферическаю волну. Функция (11) представляет собой асимптотику волновой функции при  в области .

 При  положение иное. Теперь условие конечности   при  даёт: . Значит, решение таково:

.  (12)

Такие состояния отвечают периодическим орбитам в классической механике, когда частица движется у силового центра (вне этой области волновая функция экспоненциально затухает по мере удаления от центра); они называются связанными состояниями.

  Анализ поведения решений вблизи центра () показывает, что решения оказываются конечными лишь при избранных значениях энергии . Это ведёт к дискретному энергетическому спектру – получается система квантовых уровней энергии.

 Таким образом, энергетический спектр частицы в поле центральной силы состоит из двух частей - непрерывной и дискретной.

Волновая функция  зависит от энергии , а также от  и , т.е. энергия , квадрат момента импульса и его проекция на выделенное направление в пространстве – это полный набор физических величин, определяющих движение в центрально-симметричном поле.

Пример 5. Сила тока в резисторе линейно возрастает за 4 секунды от 1 до 8 А. Сопротивление резистора 10 Ом. Определить количество теплоты, выделившееся в резисторе за первые 3 секунды.

Решение.

t0 =0 c По закону Джоуля -Ленца количество теплоты dQ,

t1 =4 c  выделяющееся за время dt равно:

I0 =1A dQ = I2(t)Rdt

I1 =8 A Зависимость тока от времени, по условию, является

t2 =3 c линейной:

R = 10 Ом  I(t) = I0 + kt

Q = ? где k = (I1 - I0)/(t1 - t0) - скорость возрастания тока.

Количество тепла выделившееся на сопротивлении R за промежуток времени от t0 до t2 определяется интегралом :

 t2 t2 

 Q = ò I2(t)Rdt = ò (I0 + kt)2 R dt

 t0 t0

Вычислив интеграл , получаем:

 Q = I02 R(t2 - t0) + 2I0Rk(t2 - t0)2/2 + Rk2 (t2 - t0)3/3 =

 = 10{1×3 + 2×1×(7/4)(3)2 + (7/4)2(3)3/3] = 620.625 » 

 » 621 Дж

Ответ: Q = 621 Дж


Анализ электрических цепей