Курсовые по энергетике
БН
Экология
Карта

Физика. Конспекты, примеры решения задач

-оператор и матрица рассеяния

 В предыдущем разделе мы ввели матрицу рассеяния, исходя из стационарного уравнения Шредингера. Рассмотрим теперь подход, основанный на использовании временной теории возмущений.

  Пусть до момента времени  система находилась в состоянии , затем включается возмущение и в момент времени , когда выключается возмущение, ищется вероятность перехода в некоторое состояние   (). Если  - оператор временной эволюции, то состояние системы в момент  будет:

Это состояние анализируется по полной системе волновых функций свободных состояний: Определить дифракционную эффективность (ДЭ) каждой из наложенных голограмм

Используя условие ортогональности

,

умножим обе части предыдущего соотношения на  и проинтегрируем по всему пространству. В результате получаем соотношение:

.  (28)

Вероятность перехода  определяется величиной , т.е. величина  является амплитудой вероятности рассматриваемого перехода.

Рассмотрим предел  и введём обозначение:

 . (29)

Это оператор рассеяния или -оператор. Из (28) и (29) видно, что , т.е. коэффициенты  совпадают с матричными элементами   -оператора.

 Возьмем квадрат модуля -матричного элемента  и просуммируем по конечным состояниям:

.  (30)

Как и должно быть, сумма вероятностей перехода из начального состояния в любое другое конечное равна единице. При выводе формулы (30) использовано условие унитарности -оператора, , и условие полноты системы волновых функций .

-матрица рассеяния и условие унитарности

Так как в отсутствие взаимодействия состояние частицы не изменяется, то в нулевом по взаимодействию приближении  ; поэтому, выделяя из -оператора единицу, найдём:

 , (31)

где  - новая матрица. Во втором слагаемом в правой части (31) выделена 4-мерная -функция, выражающая закон сохранения 4-импульса частиц в начальном и конечном состояниях. Для недиагональных матричных элементов (),

.  (32)

Подставляя формулу (31) в условие унитарности -оператора,

,

после несложных преобразований получаем:

Отсюда выводим:

 (33)

Выражение (33) называется условием унитарности для -матрицы. Здесь левая часть линейна по элементам -матрицы, а правая – квадратична. В первом приближении теории возмущений, если имеется малое возмущение ~ , левая часть ~, а правая часть . Значит, в первом приближении теории возмущений

  .

Полагая в (33) , найдём:

.  (34)

Правая часть представляет собой (с точностью до постоянного множителя) полное сечение возможных процессов из начального состояния , то есть .

Контрольные вопросы

Что называется дифференциальным эффективным сечением рассеяния?

Какое столкновение частиц называется упругим?

Какой вид должна иметь волновая функция, отвечающая постановке задачи о рассеянии частицы на мишени?

В чем состоит борновское приближение в задаче о рассеянии?

Что называется амплитудой рассеянной волны?

Как выражается амплитуда рассеянной волны через потенциал поля, на котором происходит рассеяние?

Что такое парциальное сечение рассеяния?

Что такое матрица рассеяния в стационарной теории рассеяния?

Что такое  -оператор?

Каково соотношение между матричными элементами -оператора в первом приближении по возмущению?

Какой физический смысл имеет мнимая часть диагонального матричного элемента -оператора?

Момент инерции материальной точки J = mr2

массой m на расстоянии r от оси вращения

Моменты инерции некоторых тел массы m

относительно оси вращения проходящей

через центр тяжести:

полого цилиндра (колеса) радиуса R J = m R2;

сплошного цилиндра (диска ) радиуса R J = mR2/2;

шара радиуса R J = 0.4 mR2;

стержня длиной l, если ось ^ стержню J = ml2/12;

тела относительно произвольной оси - J = J0 + md2.

(теорема Штейнера)

Момент силы относительно оси вращения М = [ r F ]

Момент количества движения L = Jw

Основное уравнение динамики вращательного M = d L/dt = d(Jw)/dt

движения твердого тела

то же для J = const M = J dw/dt = Je

Закон сохранения момента количества å Jiwi = const

движения i

Кинетическая энергия вращающегося тела Евращ = Jw2/2


Анализ электрических цепей