осенние каникулы в Финляндии недельная программа обучение в Санкт-Петербурге
Элементы квантовой механики Молекулярные спектры Полупроводники Ядерная физика Кинематика примеры задач

Физика. Конспекты, примеры решения задач

Уравнение Шрёдингера

Развивая идеи де-Бройля о волновых свойствах вещества, Э.Шрёдингер постулировал в 1926 г. уравнение — основное уравнение нерелятивистской квантовой теории: уравнение Шредингера. Данное уравнение было именно найдено, оно является новым фундаментальным законом, который невозможно вывести из прежних представлений и теорий. Справедливость этого уравнения установлена тем, что все вытекающие из него следствия подтверждены экспериментом. Уравнение Шредингера играет в квантовой теории такую же роль, как основное уравнение динамики (2-й закон Ньютона) в нерелятивистской механике.

Сформулировав это уравнение, Шредингер сразу же применил его к атому водорода и получил для уровней энергии спектр, точно совпадающий со спектром по первоначальной теории Бора и соответственно — с результатами наблюдений.

Уравнение Шредингера имеет следующий вид:

(12.11)

где i — мнимая единица (√ -1), т — масса частицы, U(x, y, z, t) — потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется; Ψ(х, у, z, t) — искомая волновая функция частицы; ≡ ∆ — оператор Лапласа, результат действия которого на некоторую функцию представляет собой сумму вторых частных производных по координатам: Воспользовавшись уравнением Менделеева-Клапейрона PV = nRT, можно перейти к переменным (P,V) и (T,P).

(12.12)

Уравнение (12.11) называют общим уравнением Шредингера или временным уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера справедливо для любой частицы, движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью υ << с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию:

1) Так как волновая функция — объективная характеристика состояния микрочастиц, то она должна удовлетворять ряду ограничений. Она должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной) и непрерывной (веро­ятность не может изменяться скачком).

2) Производные ∂Ψ/∂x, ∂Ψ/∂y, ∂Ψ/∂z, ∂Ψ/∂t должны быть непрерывны;

3) Функция |Ψ|2 должна быть интегрируема; это условие в простейших условиях сводится к условию нормировки вероятностей (12.9).

Особую роль в квантовой теории играют стационарные состояния — состояния, в которых все наблюдаемые физические величины не меняются с течением времени. Сама Ψ -функция, как уже говорилось, принципиаль­но ненаблюдаемая. В стационарных состояниях она имеет вид

Ψ(r, t) = Ψ(r) e-iωt, ω = E/ћ, 

(12.13)

где функция Ψ(r) не зависит от времени.

При таком виде Ψ -функции плотность вероятности Р остается постоянной. В самом деле,

(12.14)

т. е. действительно, плотность вероятности Р от времени не зависит.

Для нахождения функции Ψ(r) в стационарных состояниях подставим выражение (12.13) в уравнение (12.11), получим

(12.15)

Это уравнение называют уравнением Шредингера для стационарных состояний. Обратим внимание на следующую особенность уравнения (12.15). В то время как, согласно интерпретации пси-функции, частица, как говорят, «размазана» в пространстве, потенциальная энергия U рассматривается в (12.15) как функция локализованной точечной частицы в силовом поле. То есть потенциальная энергия — функция U(r) —здесь определяется классически, как если бы никакими волновыми свойствами частица не обладала.

Перепишем уравнение (12.15) в виде

(12.16)

Квантование. Физический смысл имеют лишь те решения уравнения (12.16), которые удовлетворяют естественным или стандартным условиям. Эти условия состоят в том, что пси-функция Ψ(r) должна быть конечной, однозначной, непрерывной и гладкой (т. е. без изломов) во всем пространстве, даже в тех точках (линиях, поверхностях), где потенциальная энергия U(r) терпит разрыв.

Решения, удовлетворяющие этим условиям, оказываются возможными лишь при некоторых значениях энергии Е. Их называют собственными значениями, а функции Ψ(r), являющиеся решениями уравнения (12.16) при этих значениях энергии, — собственными функциями, принадлежащими собственным значениям Е. В этом и состоит естественный и общий принцип квантования.

Собственные значения энергии Е и принимаются за возможные значения энергии в соответствующих стационарных состояниях. Эти значения энергии Е могут быть дискретными (квантованными) или непрерывными, образуя дискретный или непрерывный энергетический спектр.

Частица в потенциальном ящике.

Квантование энергии

Рассмотрение частицы в потенциальном ящике — одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками — имеет большое значение, так как потенциальная яма есть первое приближение силового поля, связывающего электроны в атоме, а также атомы в кристаллической решетке.

Потенциальная энергия частицы, например электрона, вне и внутри потенциального ящика (рис. 12) в предположении ее движения вдоль оси х имеет следующие значения:

где l — ширина ямы, а энергия отсчитывается от дна ямы.

Рис. 12.2.

Пси-функция частицы зависит только от координаты х, поэтому стационарное уравнение Шредингера [см. (12.16)] имеет вид

(12.17)

Частица за пределы ямы не проникает, т. е. в об­ластях х < 0 и х > l функция ψ(х) ≡ 0, а из условия непрерывности следует, что и на границах ямы

(12.18)

В пределах ямы (0 < х < l) уравнение Шредингера (12.17) сведется к уравнению

(12.19)

где

(12.20)

Общее решение уравнения (12.19) имеет вид

(12.21)

где а и α — произвольные постоянные.

Теперь нужно потребовать от функции ψ(х), чтобы она удовлетворяла естественным (стандартным) условиям. Видно, что ψ(х) в виде (12.21) однозначна и конечна. Она должна быть еще и непрерывной, а именно, вне ямы частица быть не может, значит там ψ(х)  = 0, и для непрерывности ψ-функции необходимо, чтобы при х = 0 и х = l функция (12.21) была бы равна нулю. Из условия

следует, что α = 0. Из условия же

свою очередь следует, что kl= πn, где п — целые числа, т. е. необходимо, чтобы

(12.22)

(п = 0 отпадает, так как при этом ψ(х) = 0 — частицы вообще нет, а отрицательные значения п приводят к тем же функциям, что и для положительных n, но с отрицательным знаком, что не дает новых физических решений).

Исключив k из уравнений (12.20) и (12.22), найдем собственные значения энергии частицы:

(12.23)

т. е. спектр энергии частицы является дискретным (или квантованным). Квантованные значения Е называют уровнями энергии, а число и, их определяющее, — главным квантовым числом.

Итак, собственные значения Е найдены — это (12.23). Теперь найдем соответствующие им собственные функции. Для этого подставим значения k из (12.22) в (12.21), где α = 0, тогда

Для нахождения коэффициента а воспользуемся условием нормировки (12.9), которое в данном случае запишется следующим образом:

На концах промежутка интегрирования подынтегральная функция обращается в нуль. Поэтому значение интеграла можно получить, умножив среднее значение sin2 (nπx/l) (равное 1/2) на длину промежутка l. В результате получим а2l/2 = 1, откуда а = √(2/l). Таким образом, собственные функции имеют вид

(12.24)

Из формулы (12.23) следует, что существует минимальная, не равная нулю энергия

соответствующая основному состоянию частицы. Волновая функция основного состояния

ψ1(х) = а sin πx/l

В отличие от классики минимальное значение энергии Е частицы в яме согласно (12.23) не равно нулю. Это полностью согласуется с принципом неопределенности. Ведь у частицы в яме ограничена область возможных значений ее координаты, поэтому должен существовать разброс по импульсам, а значит, отлична от нуля и энергия. Состояние с энергией Е1, называют основным состоянием, а остальные состояния — возбужденными.

На рис. 12.3 изображены уровни энергии частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Здесь же представлены для n = 1, 2, 3 собственные функции (12.24) и плотности вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы, равные |ψn (x)|2 = ψn*(х) ψn(х).

Рис. 12.3.

 Из графиков, например, следует, что в состоянии с п = 2 частица не может быть обнаружена в середине ямы и вместе с тем одинаково часто бывает как в левой, так и в правой половине ямы. Такое поведение частицы, очевидно, несовместимо с представлением о траекториях. Отметим, что согласно классическим представлениям все положения частицы в яме равновероятны. Несколько другой вид этих же графиков показан на рис. 12.4, где собственные функции обозначены пунктирными линиями, а распределение плотности вероятности — сплошными. Из этих графиков видно, что в низшем энергетическом состоянии (п = 1) с наибольшей вероятностью частицу можно обнаружить в середине ямы, а вероятность нахождения ее вблизи краев ямы весьма мала. Такое поведение частицы резко отличается от поведения классической частицы.

Рис. 12.4.

С увеличением же энергии (т. е. с ростом квантового числа п) максимумы распределения ψ2n(х) располагаются все ближе друг к другу. При очень больших значениях п картина распределения ψ2n(х) практически «сливается» и представляется равномерным — частица начинает вести себя совсем «как классическая».

Действие света.

§1 Фотоны.

Фотоны — кванты оптического диапозона (1011 — 1015 Гц), порция, минимальный сгусток энергии.

Энергия фотона εф=hν = hC/λ=ħω

h=6.62 * 10 -34 Дж с — постоянная Планка (1900)

ħ=h/2Pi=1.05*10-34 Дж c

ω = 2Pi ν

λ=СT=C/ν ν=C/λ

E=mC2 — закон массы энергии

m=E/C2

Масса фотона mф=εф/C2=hν /C2 — масса движущегося фотона

со скоростью света могут двигаться только частицы нейрина и фотона, тела — нет

mф=m0ф/sqr(1-(v2/C2)) v=C (в вакууме) => mф=0 в покое

Импульс фотона Pф=mC= hν /C = h/λ


Анализ электрических цепей